積分に一意性ってあるの？
ある関数があって、その原始関数
を求める。
これが積分、という演算です。
\begin{align}
\int f(x) dx = F(x) + C \\
F'(x) = f(x)
\end{align}
（は積分定数とします。）
ここで、ふと疑問に思いました。「原始関数は（定数項の違いを除いて）一意に定まるのだろうか？」と。
数式として表すのならば、こうです。
予想. 任意の2つの関数と
に対して、以下が成り立つ。
\begin{align}
F'(x) = f(x) \land G'(x) = f(x) \Rightarrow F(x) - G(x) = C
\end{align}
簡単な多項式で表される関数を積分するならまだしも、複雑な関数になってくると「微分したらこれになる関数って他にもあるんじゃないか……？」とか思ってしまいます。
ならば証明してしまいましょう。原始関数の一意性。
証明
ある関数の原始関数を、
、
と置く。
仮定より明らかに以下が成り立つ。
\begin{align}
F'(x) = f(x) \\
G'(x) = f(x)
\end{align}
ここで、以下のように関数を定める。
\begin{align}
\phi (x) = F(x) - G(x)
\end{align}
微分の線形性から、
\begin{align}
\phi '(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0
\end{align}
したがっては定数関数である。Q.E.D.
(Quite Easy Doneではない)
線形性
簡単な補足です。
線形性とは、ある演算の以下のような性質のことです。
\begin{align}
f(x+y) &= f(x) + f(y) \\
f(ax) &= af(x)
\end{align}
と書くと関数だけの話みたいに見えてしまいますが、抽象的な演算も含まれます。
上の証明では、を微分演算子と見ています。
\begin{align}
D(f+g) &= Df + Dg \\
D(af) &= aDf
\end{align}
となりますから、微分は明らかに線形性の条件を満たしています。
