ソシャゲのガチャと確率について考える

唐突なのですが、なんとなく昨日のリーマン予想とは別に書きたくなりました。

ということで、少しだけ書きます。

大抵のソシャゲにはガチャのシステムがあります。
言わずもがな、ガチャというのは確率でレアアイテムやレアなキャラが手に入ったりするやつです。今回注目したいのは、この確率というところ。

何%で今求めているキャラあるいはアイテムが手に入るのかさえ分かれば、計算してどれくらいガチャを回せば良いのか、もしくは課金すればよいのか見当がつけられます。

最近はいろいろあってガチャの排出率の明記が必須になったので楽ですね。

そんなわけで、ガチャについて少し考察をしましょう。

今回の記事は義務教育修了程度の確率の知識さえあれば理解できると思うので、そんなに気負わず読んでいただけると思います。

何回くらいガチャを回せば当たる？

今欲しいキャラのガチャでの排出率が $1/n$ だとします。（ $n$ は十分大きいとします）
このとき、逆に外れてしまう確率は $1 - (1/n)$ です。
したがって、 $m$ 回ガチャを回したときはずれを引き続けてしまう確率 $\bar{p}$ は以下のようになるはずです。

\begin{align}
\bar{p} = \left( 1 - \frac{1}{n} \right) ^ m \tag{1}
\end{align}

そして、余事象の考え方から $m$ 回ガチャを回したとき欲しいキャラを当てることのできる確率 $p$ は、こうですね。

\begin{align}
p = 1 - \bar{p} = 1 - \left( 1 - \frac{1}{n} \right) ^ m
\end{align}

ここでの $m$ をいろんな数字に変えてみます。

m = n の場合

二項定理を使えば文字の式のまま展開して計算したりできますが、めんどくさいので適当に $n$ に大きな値を代入してみます。
以下、 $p_m(n)$ を $m$ 回ガチャを回したとき排出率 $1/n$ のキャラを引ける確率とします。

\begin{align}
p_m(n) = 1 - \bar{p}_m(n) = 1 - \left( 1 - \frac{1}{n} \right) ^ m
\end{align}

$n=100$ のとき、はずれを引く確率 $\bar{p}_1(100)$ は $99/100$ となり100回これが続く確率 $\bar{p}_{100} (100)$ は、 $0.3660 \ldots$ となります。したがって、 $p_{100} (100)$ は $0.6339 \ldots$ 、つまりおよそ63%になります。