メモ: 1が並ぶ数の和とq-analog
先日、Twitterのタイムラインに面白いものが流れてきました。
以下のような1が並ぶ数を足していったら、というだけの話だったのですが、答えの方がなにやら面白いぞ、と。
\begin{align}
1 + \frac{1}{11} + \frac{1}{111} + \frac{1}{1111} + \frac{1}{11111} + \cdots
\end{align}
最初見たときは「へぇ~ディガンマ関数が出てくるんだ、おもしろ」ってなったんですが、よく見るとどうやらディガンマ関数の様子がおかしいことに気が付きます。
「 の右下になんか付いてる??」
どう見ても、 と書いてある。ということは、もちろん普通のディガンマ関数じゃないようです。
Wolframによると、「 はq-ディガンマ関数」とのこと。
「先頭のq-ってなんだよ、p進的な?」と思ったのですがそれも違うようで、調べてみるとMathWorldの記事がヒット。
q-Polygamma Function -- from Wolfram MathWorld
そして、q-analogなる分野があることが分かりました。
少し面白そうだったので、(主に自分のために)この記事に簡単にまとめておくことにします。
(なんとモジュラー形式や楕円積分、楕円曲線とも関係があるらしい……?)
q-analogの基本
q-analogとは、なんらかの理論に対して の極限においてもとの理論に一致するようなパラメーター を導入する拡張のこと。
Basic hypergeometric series(q-超幾何級数)というものの研究から発生してきたものらしい。
q-number / q-bracket(q-数)
ある非負整数 に対して、 のq-analogは以下のように定義される。
\begin{align}
[n]_q = \frac{1-q^{n}}{1-q} = 1+q+q^{2}+ \cdots +q^{n-1}
\end{align}
これを、 の q-numberあるいはq-bracketと呼ぶ。
q-factorial(q-階乗)
上で定義したq-numberを用いて階乗のq-analog、q-factorialを定義できる。
\begin{align}
[n]_{q}! &= [1]_{q} \cdot [2]_{q} \cdots [n-1]_{q} \cdot [n]_{q} \\
&= \frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^{2}}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}
\end{align}
This q-analog appears naturally in several contexts. Notably, while n! counts the number of permutations of length n, [n]q! counts permutations while keeping track of the number of inversions. (Wikipedia)
q-Pochhammer symbol
q-Pochhammer symbolとは下降階乗冪のq-analogで、以下のように定義される。
\begin{align}
(a ; q)_{n} = \prod_{k=0}^{n-1} \left(1-a q^{k}\right) = (1-a)(1-a q)\left(1-a q^{2}\right) \cdots \left(1-a q^{n-1}\right)
\end{align}
元の下降階乗冪との違いとして、無限積へ拡張が可能。
\begin{align}
(a ; q)_{\infty} = \prod_{k=0}^{\infty} \left(1-a q^{k}\right)
\end{align}
またこれを用いてq-factorialが定義できる。
\begin{align}
[n]_{q}! = \frac{(q ; q)_{n}}{(1-q)^{n}}
\end{align}
q-binomial coefficients(q-二項係数)
階乗のq-analogを定義したため、これを用いて二項係数のq-analogを定義できる。
\begin{align}
\left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)_{q} = \frac{[n]_{q} !}{[n-k]_{q} ![k]_{q} !}
\end{align}
q-exponential
指数関数のマクローリン展開の階乗をq-階乗に置き換えることで、指数関数のq-analogを定義できる。
\begin{align}
e_{q}^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q}!}
\end{align}
q-derivative(q-微分)
q-derivativeとは、通常の微分のq-analogであり以下のように定義される。
\begin{align}
\left(\frac{d}{d x}\right)_{q} f(x) = \frac{f(q x) - f(x)}{q x - x}
\end{align}
ここで、導関数はしばしば のように書かれ、また は線形性を持つ。
q-gamma function
ガンマ関数のq-analogは、以下のように与えられる。
\begin{align}
\Gamma_{q}(x) &= (1-q)^{1-x} \prod_{n=0}^{\infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}=(1-q)^{1-x} \frac{(q ; q)_{\infty}}{\left(q^{x} ; q\right)_{\infty}} \quad {\rm for} \, |q| < 1 \\
&= \frac{\left(q^{-1} ; q^{-1}\right)_{\infty}}{\left(q^{-x} ; q^{-1}\right)_{\infty}} (q-1)^{1-x} q^{\left( \begin{array}{l}{x} \\ {2}\end{array}\right)} \quad {\rm for} \, |q| > 1
\end{align}
またこれを用いてディガンマ関数のq-analogも定義できる。
\begin{align}
\psi_q(z) = \frac{1}{\Gamma_q(z)} \frac{\partial \Gamma_q(z)}{\partial z}
\end{align}