ラマヌジャンの円周率公式を証明する #5

第五回です。お久しぶりです。

更新滞りすぎ感があったのでちょっとだけ書いておきます。

3. 等価（equivalent）な格子とKleinの絶対不変量 $J$

この章では、互いに回転・拡大縮小の関係にある等価（equivalent）な格子について取り扱う。等価な格子は、等しいKleinの絶対不変量 $J$ の値を持つ。

定義 3.1.

2つの格子 $L, L'$ が等価（equivalent）であるとは、一方の格子がもう一方の格子を回転あるいは拡大・縮小することで得られることである。すなわち、ある $a \in \mathbb{C}$ が存在して、 $L' = a \cdot L$ となることである。

注意 3.2.

任意の格子 $L$ の楕円関数 $f(z)$ から、格子 $L' = a \cdot L$ の楕円関数 $g(z) = f(\frac{z}{a})$ が得られ、逆もまた真である。これが、 $L$ と $L'$ を等価と呼ぶ所以である。

命題 3.3.

それぞれの格子 $L = \mathbb{Z} \omega_1 + \mathbb{Z} \omega_2$ に対して、等価な格子 $L_{\tau} = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \tau$ が存在する。ただし、 $\tau$ は上半平面 $\mathbb{H}$ 上の複素数である。（i.e. $\operatorname{Im}(\tau)$ > $0$ ）

証明

$a = \frac{1}{\omega_1}$ とおくと、 $L' = a \cdot L=\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \cdot \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}$ を得る。 $\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}$ の虚部が正ならば、これを $\tau$ と置けばよい。 $\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}$ の虚部が負ならば、 $\tau = - \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}$ とすればよい（これは基本周期が異なるのみの等しい格子である）。 $\operatorname{Im}(\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}) = 0$ となる場合はありえない。なぜならば、基本周期の比が実数ならば $L$ は格子になりえないからである（定義1.1参照）。

定義 3.4.

$\tau_1 \in \mathbb{H}$ と $\tau_2 \in \mathbb{H}$ が等価であるとは、格子 $L_{\tau_1}$ と $L_{\tau_2}$ が等価であることである。例えば、 $\tau$ と $\tau + 1$ は等価となる。それだけでなく、 $\tau$ と $- \frac{1}{\tau}$ も等価である。

定義 3.5.

ある格子 $L \subset C$ があるとき、 $g_2(L)$ と $g_3(L)$ の定義を用いて、判別式 $\Delta$ とKleinの絶対不変量 $J$ を定義する。

\begin{align}
\Delta(L) &:= g_2^3(L) - 27 g_3^2(L) \\
J(L) &:= \frac{g_2^3(L)}{g_2^3(L) - 27 g_3^2(L)}
\end{align}

注意 3.6.

$L_{\tau} = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \tau$ の形の格子があったとき、以降 $g_2(L_{\tau})$ を $g_2(\tau)$ のように記述する。同様に、 $g_3(\tau), G_k(\tau), \Delta(\tau), J(\tau)$ と記述する。