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日々の数学やプログラミングに関係する話。

Cauchyの平均値の定理とTaylor展開

Cauchyの平均値の定理を用いてTaylorの定理を証明します。

Cauchyの平均値の定理

関数 g,h は閉区間 [a,b] 上で連続かつ開区間 (a, b) 上で微分可能であって、h(b) \not= h(a) かつ区間内の各点 x において (g'(x), h'(x)) \not= (0, 0) とする。このとき、

\begin{align}
\frac{g(b) - g(a)}{h(b) - h(a)} = \frac{g'(c)}{h'(c)}
\end{align}

を満たす c \in (a,b) が存在する。

証明

f(x) := (g(x) - g(a))(h(b) - h(a)) - (g(b) - g(a))(h(x) - h(a)) とおく。

このとき、f(a) = f(b) = 0 である。これは定義式に代入することで直ちに確かめられる。

ここで(Lagrangeの)平均値の定理から、

\begin{align}
\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)
\end{align}

を満たす c \in (a,b) が存在する。ここで、左辺は 0 となることに注意する。

f導関数

\begin{align}
f'(x) = g'(x) \cdot (h(b) - h(a)) - h'(x) \cdot (g(b) - g(a))
\end{align}

であるから、ここで x=c とすることで定理の式を得る。

Taylorの定理

区間 a, b 上で連続かつ開区間 (a,b) 上で n微分可能な関数 f に対して、

\begin{align}
f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{f''(a)}{2!} (b-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (b-a)^{n}
\end{align}

を満たす c \in (a,b) が存在する。

証明(n=2の場合)

平均値の定理より、n=1 のケースは既に示されている。

\begin{align}
f(b) = f(a) + f'(c) (b - a)
\end{align}

g(x) := f(x) + f'(x)(b-x), h(x) := (b-x)^2 とおく。

ここで、Cauchyの平均値の定理を適応すれば、

\begin{align}
\frac{f(b) - (f(a) + f'(a)(b-a))}{0 - (b-a)^2} = \frac{f''(c)(b-c)}{-2 (b-c)}
\end{align}

となる c \in (a,b) が存在する。

この式を整理することで n=2 のケースが示される。

また一般の n についても、同様に証明ができる。

Taylor展開

Taylorの定理を書いたのでわざわざ別に書くまででもないですが、Taylorの定理において関数が無限回微分可能で、剰余項が n \to \infty としたとき0に収束するならばTaylor展開可能です。