Cauchyの平均値の定理とTaylor展開
Cauchyの平均値の定理を用いてTaylorの定理を証明します。
Cauchyの平均値の定理
関数 は閉区間 ] 上で連続かつ開区間 上で微分可能であって、 かつ区間内の各点 において とする。このとき、
\begin{align}
\frac{g(b) - g(a)}{h(b) - h(a)} = \frac{g'(c)}{h'(c)}
\end{align}
を満たす が存在する。
証明
とおく。
このとき、 である。これは定義式に代入することで直ちに確かめられる。
ここで(Lagrangeの)平均値の定理から、
\begin{align}
\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)
\end{align}
を満たす が存在する。ここで、左辺は となることに注意する。
の導関数は
\begin{align}
f'(x) = g'(x) \cdot (h(b) - h(a)) - h'(x) \cdot (g(b) - g(a))
\end{align}
であるから、ここで とすることで定理の式を得る。
Taylorの定理
閉区間 上で連続かつ開区間 上で 回微分可能な関数 に対して、
\begin{align}
f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{f''(a)}{2!} (b-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (b-a)^{n}
\end{align}
を満たす が存在する。
証明(n=2の場合)
平均値の定理より、 のケースは既に示されている。
\begin{align}
f(b) = f(a) + f'(c) (b - a)
\end{align}
とおく。
ここで、Cauchyの平均値の定理を適応すれば、
\begin{align}
\frac{f(b) - (f(a) + f'(a)(b-a))}{0 - (b-a)^2} = \frac{f''(c)(b-c)}{-2 (b-c)}
\end{align}
となる が存在する。
この式を整理することで のケースが示される。
また一般の についても、同様に証明ができる。
Taylor展開
Taylorの定理を書いたのでわざわざ別に書くまででもないですが、Taylorの定理において関数が無限回微分可能で、剰余項が としたとき0に収束するならばTaylor展開可能です。