ラマヌジャンの円周率公式を証明する #2

昨日の続きです。
以下常体になります。

mikan-alpha.hatenablog.com

1. 楕円関数（Elliptic Functions）

この章では、Weierstraßの楕円関数についての用語と命題を取り扱う。

定義 1.1.

$\mathbb{R}$ 上線形独立な複素数の組 $(\omega_1, \omega_2)$ について、

\begin{align}
L = \mathbb{Z} \omega_{1}+\mathbb{Z} \omega_{2}=\left\{m \omega_{1}+n \omega_{2} \, | \, m, n \in \mathbb{Z}\right\} \subset \mathbb{C}
\end{align}

を、格子（Lattice）と呼ぶ。

$\omega_1$ と $\omega_2$ は、格子の基本単位（basic periods）と呼ばれる。

定義 1.2.

楕円関数とは、有理型の関数 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \cup\{\infty\}$ であって、以下の性質を持つものである。

\begin{align}
f(z+\omega)=f(z) \quad \text { for all } \omega \in L \text { and } z \in \mathbb{C}
\end{align}

有理型とは、 $f$ が真性特異点を持たず、かつ $f$ の極の集合は集積点を持たず*1、かつ $f$ は極を除いて正則であることである。

定義 1.3.

すべての格子 $L$ は、複素数に対して合同の関係をつくる。

$z_1 \in \mathbb{C}$ と $z_2 \in \mathbb{C}$ が法 $L$ の下で合同であるとは、 $z_1 - z_2 \in L$ が成立すること（と同値）である。

定義 1.4.

基本領域（fundamental parallelogram） $\mathcal{P}$ とその閉包 $\overline{\mathcal{P}}$ は以下のように定められる。

\begin{align}
\mathcal{P}=\left\{s \omega_{1}+t \omega_{2} \, | \, 0 \leq s, t<1\right\} \quad \text { and } \quad \overline{\mathcal{P}}=\left\{s \omega_{1}+t \omega_{2} \, | \, 0 \leq s, t \leq 1\right\}
\end{align}

$\omega_{1}$ と $\omega_2$ は $\mathbb{R}$ 上線形独立であるから、以下が成立する。

全ての $z \in \mathbb{C}$ について、法 $L$ の下 $z$ と合同であるような $z' \in \mathcal{P}$ がただ一つ存在する*2。

命題 1.5. Liouvilleの定理

全ての有界な解析関数 $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ は定数である。

証明

任意の $z \in \mathbb{C}$ に対して、 $f'(z) = 0$ を示せば良い。

Cauchyの積分公式を一度微分することで、任意の正の数 $r$ について以下を得る。

\begin{align}
\left|f^{\prime}(z)\right|=\left|\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-z|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta\right| \leq \frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{C}{r^{2}} \cdot 2 \pi r=\frac{C}{r}
\end{align}

ここで、有界であるという仮定 $|f(\zeta)| \leq C$ と、円周の長さを用いた。

途中の式をもう少し書き下すと、

\begin{align}
\left|\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\zeta-z|=r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta\right| \leq \frac{1}{2 \pi } \left| \oint_{|\zeta-z|=r} \frac{C}{(\zeta-z)^{2}} d \zeta\right|
\end{align}

ここで、被積分関数の分母 $(\zeta-z)^{2}$ は、 $|\zeta-z|^{2} = r^2$ に等しいため、元の不等式となる。

上の議論において、 $r \to \infty$ とすることで $f'(z) = 0$ を得る。

したがって、 $f$ は定数関数である。

命題 1.6. Liouvilleの定理 1

全ての極を持たない楕円関数は定数である。

証明

全ての基本周期を $\omega_1$ と $\omega_2$ とする楕円関数 $f$ は、基本領域 $\mathcal{P}$ 上の全ての値をとる。しかし、その閉包 $\overline{\mathcal{P}}$ は閉じていてかつ有界である。 $f$ が極を持たないため、 $|f|$ は連続でありかつ $\overline{\mathcal{P}}$ に最大値を持たなければならない。しかし一方で、その周期性から $f$ は複素数平面全体で有界となる。命題1.5より、 $f$ は定数関数となる。

命題 1.7. Liouvilleの定理 2

全ての楕円関数は、（法 $L$ の下で）高々有限個の極を持ちその留数の和は0である。

証明

楕円関数の任意の極について、等しい（対応する）極が基本領域 $\mathcal{P}$ 上に存在する。楕円関数の極の集合は離散的であるから、基本領域の閉包 $\overline{\mathcal{P}}$ には高々有限個の極が存在する（ $\overline{\mathcal{P}}$ はコンパクトである）。

（ここから先はよく理解できてません……）

命題 1.8. Liouvilleの定理 3

全ての定数でない楕円関数 $f$ は、重複度込みで法 $L$ の下同じ数の零点と極を持つ。

証明

（これもいまいち理解できてない気がするので一旦省略します）

定義 1.9.

格子 $L$ のWeierstraßの $\sigma$ -関数は、以下のように定義される。

$\begin{align} \sigma(z ; L):=z \cdot \prod_{\omega \in L \atop \omega \neq 0}\left\{\left(1-\frac{z}{\omega}\right) \cdot \exp \left(\frac{z}{\omega}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{\omega}\right)^{2}\right)\right\} \end{align}$

この関数の詳しい解析は第4章にて行われる。

注意 1.10.

上記の無限積は、指数関数の因子によって絶対収束する。また、 $\sigma(z ; L)$ の零点はちょうど格子 $L$ の点であって、その位数は1である。それにも関わらず、 $\sigma$ -関数は二重周期性を持たない。

定義 1.11.

格子 $L$ のWeierstraßの $\zeta$ -関数は、 $\sigma$ -関数の対数微分として定義される。

$\begin{align} \begin{aligned} \zeta(z ; L) :=\frac{d}{d z} \ln \sigma(z ; L)=\frac{d}{d z}(\ln z)+\sum_{\omega \in L} \frac{d}{d z}\left\{\ln \left(1-\frac{z}{\omega}\right)+\frac{z}{\omega}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{\omega}\right)^{2}\right\} \\ =\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0}\left(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^{2}}\right) \end{aligned} \end{align}$

この関数の詳しい解析は第2章にて行われる。

定義 1.12.

Weierstraßの $\wp$ -関数は、 $\zeta$ -関数の微分の-1倍である。

\begin{align}
\wp(z ; L):=-\zeta^{\prime}(z ; L)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right)
\end{align}

注意 1.13.

Weierstraßの $\wp$ -関数の微分は以下のようになる。

\begin{align}
\wp^{\prime}(z ; L)=\sum_{\omega \in L} \frac{-2}{(z-\omega)^{3}}
\end{align}

次回予告？

今回はそこそこキリがいいのでここまでとしますが、第一章はまだまだ続きます。

次回は今回新しく出てきた $\wp$ -関数についてもっと深く扱っていきます。

先は長い……。

*1:おそらく集積特異点が無いと言うことだと思います。

*2:ベクトルの分解です。

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日々の数学やプログラミングに関係する話。