ラマヌジャンの円周率公式を証明する #3

第三回です。ところどころ証明が分からなくなってきたのでサポートしてくれる人がほしい。

よく分かってない証明：極と零点に関わる証明（Liouvilleの定理2、3まわり）、命題1.20、1.21

あと今更ですが、この日本語訳計画が終わったら別でお気持ちが分かるような解説記事を書きたいと思います。

命題 1.14.

$\wp(z ; L)$ は偶関数であり、また $\wp^{\prime}(z ; L)$ は奇関数である。すなわち、

\begin{align}
\wp(-z ; L)=\wp(z ; L) \quad \text { and } \quad \wp^{\prime}(-z ; L)=-\wp^{\prime}(z ; L)
\end{align}

証明

$\omega$ が格子の全ての点を渡るならば、 $- \omega$ も同様である。

\begin{align}
\begin{aligned} \wp(-z ; L) &=\frac{1}{(-z)^{2}}+\sum_{\omega \in L}\left(\frac{1}{(-z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right) \\ &=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{-\omega \in L \atop-\omega \neq 0}\left(\frac{1}{(z-(-\omega))^{2}}-\frac{1}{(-\omega)^{2}}\right)=\wp(z ; L) \end{aligned}
\end{align}

また $\wp^{\prime}(z ; L)$ に対して以下が成り立つ。

\begin{align}
\wp^{\prime}(-z ; L)=\sum_{\omega \in L} \frac{-2}{(-z-\omega)^{3}}=-\sum_{-\omega \in L} \frac{-2}{(z-(-\omega))^{3}}=-\wp^{\prime}(z ; L)
\end{align}

命題 1.15.

Weierstraßの $\wp$ -関数は二重周期性を持つ。すなわち、全ての $\omega \in L$ に対して $\wp(z+\omega ; L)=\wp(z ; L)$ 。

証明

$\wp^{\prime}(z ; L)$ は二重周期性をもつ。なぜならば、総和は全ての格子の点を渡り、かつその他の項を持たないためである*1。
したがって、 $\wp^{\prime}(z+\omega)-\wp^{\prime}(z)=0$ を得るため $\wp(z+\omega)-\wp(z)=\mathrm{const}$ である。

$\omega$ が格子の基本単位であるとき、 $\frac{\omega}{2} \notin L$ である。

命題1.14を用いて次のように定数の値が得られる。

\begin{align}
\wp\left(-\frac{\omega}{2}+\omega\right)-\wp\left(-\frac{\omega}{2}\right)=\wp\left(\frac{\omega}{2}\right)-\wp\left(-\frac{\omega}{2}\right)=0
\end{align}

これにより $\wp(z+\omega)=\wp(z)$ が全ての格子 $L$ の基本単位について成り立ち、またこれを繰り返し用いることで全ての格子の点について成り立つことがわかる。

命題 1.16.

$\wp^{\prime}$ の零点は、ちょうど $\frac{\omega}{2}$ の点である。ただし $\omega \in L$ かつ $\frac{\omega}{2} \notin L$ である。

$L=\mathbb{Z} \omega_{1}+\mathbb{Z} \omega_{2}$ であるならば、次の3つの零点を得る。

\begin{align}
\wp^{\prime}\left(\frac{\omega_{1}}{2}\right)=\wp^{\prime}\left(\frac{\omega_{2}}{2}\right)=\wp^{\prime}\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right)=0
\end{align}

証明

$\frac{\omega_k}{2} \notin L$ であるような $\omega_k \in L$ を選ぶ。

$\omega$ がすべての格子の点を渡るならば、 $\omega^{\prime}=\omega+\omega_{k}$ も同様である。

したがって、

\begin{align}
\begin{aligned} \wp^{\prime}\left(-\frac{\omega_{k}}{2} ; L\right) &=\sum_{\omega \in L} \frac{-2}{\left(-\frac{\omega_{k}}{2}-\omega\right)^{3}}=\sum_{\omega^{\prime} \in L} \frac{-2}{\left(-\frac{\omega_{k}}{2}-\left(\omega^{\prime}-\omega_{k}\right)\right)^{3}} \\ &=\sum_{\omega^{\prime} \in L} \frac{-2}{\left(\frac{\omega_{k}}{2}-\omega^{\prime}\right)^{3}}=\wp^{\prime}\left(\frac{\omega_{k}}{2} ; L\right) \end{aligned}
\end{align}

命題 1.14より、 $\wp^{\prime}$ は奇関数であり、かつ仮定より $\pm \frac{\omega_{k}}{2} \notin L$ である。

よって、 $\wp^{\prime}\left(-\frac{\omega_{k}}{2} ; L\right)=-\wp^{\prime}\left(\frac{\omega_{k}}{2} ; L\right)$ である。

これにより $\wp^{\prime}\left(\frac{\omega_{k}}{2} ; L\right)=0$ である。

Liouvilleの定理3から、（法 $L$ の下） $\wp^{\prime}$ はこの他に零点を持たない。

（最後の1行をまだ理解できていない）

定義 1.17.

級数 $G_{n}=G_{n}(L):=\sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0} \omega^{-n}$ は重さ n のアイゼンシュタイン級数と呼ばれる。これは自然数 $n \geq 3$ に対して絶対収束する。

命題 1.18.

奇数の重さのアイゼンシュタイン級数は、その総和が0となる。

証明

$n$ は奇数であるから、全ての $\omega \in L-\{0\}$ について $\omega^{-n}$ と $(- \omega)^{-n} = - (\omega^{-n})$ は互いに打ち消し合ってしまう。

よって、総和は0となる。

命題 1.19.

Weierstraßの $\wp$ -関数は、以下のような定数項を含まない $z=0$ 周りでのローラン級数展開を満たす。

\begin{align}
\wp(z ; L)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) \cdot G_{2 n+2}(L) \cdot z^{2 n}
\end{align}

証明

まず $f(z):=\wp(z ; L)-\frac{1}{z^{2}}$ について考察する。定義1.12より、 $f(0) = 0$ を得る。よって、注意1.13における $\wp^{\prime}$ の表示を用いて $z=0$ における $f(z)$ の微分は以下のようになる。

\begin{align}
f^{(n)}(z)=(-1)^{n}(n+1) ! \sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0} \frac{1}{(z-\omega)^{n+2}} \quad \text { if } n \geq 1
\end{align}

命題1.18から、 $z=0$ における奇数階微分は消えてしまう。また、偶数階微分は以下のようである。

\begin{align}
f^{(2 n)}(0)=(-1)^{2 n}(2 n+1) ! \sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0} \frac{1}{(-\omega)^{2 n+2}}=(2 n+1) ! \sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0} \frac{1}{\omega^{2 n+2}}=(2 n+1) ! \cdot G_{2 n+2}
\end{align}

変形にアイゼンシュタイン級数の定義を用いた。

したがって、 $f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{2 n}(0)}{(2 n) !} \cdot z^{2 n}=\sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) G_{2 n+2} \cdot z^{2 n}$ を示せた*2。

命題 1.20.

Weierstraßの $\wp$ -関数は、以下の代数微分方程式を満たす。

\begin{align}
\begin{aligned} \wp^{\prime}(z)^{2} &=4 \wp(z)^{3} - g_{2}\wp(z) - g_{3} \\ \text {with} \quad g_{2} &= g_{2}(L) := 60 G_{4}(L)=60 \sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0} \omega^{-4} \\ \text { and } g_{3} &= g_{3}(L) := 140 G_{6}(L) = 140 \sum_{\omega \in L \atop \omega \neq 0} \omega^{-6} \end{aligned}
\end{align}

証明

1.19で示したローラン級数を用いて、 $h(z) := \wp^{\prime}(z)^2 - 4 \wp(z)^3 + 60 G_4 \wp(z)$ が極を持たないことを示す。*3

\begin{align}
\wp(z; L) &= z^{-2} + 3 G_4 z^2 + 5 G_6 z^4 + O(z^6) \\
\Rightarrow \quad \wp(z; L)^2 &= z^{-4} + 6 G_4 + 10 G_6 z^2 + O(z^4) \\
\Rightarrow \quad \wp(z; L)^3 &= \wp(z; L)^2 \cdot \wp(z; L) = z^{-6} + 9 G_4 z^{-2} + 15 G_6 + O(z^2) \\
\text{and} \quad \wp^{\prime}(z; L) &= -2 z^{-3} + 6 G_4 z + 20 G_6 z^3 + O(z^5) \\
\Rightarrow \quad \wp^{\prime}(z; L)^2 &= 4 z^{-6} -24 G_4 z^{-2} - 80 G_6 + O(z^2) \\
\Rightarrow \quad \wp^{\prime}(z; L)^2 - 4 \wp(z; L)^3 &= -60 G_4 z^{-2} - 140 G_6 + O(z^2) \\
\Rightarrow \quad \wp^{\prime}(z; L)^2 - 4 \wp(z; L)^3 &+ 60 G_4 \wp(z; L) = - 140 G_6 + O(z^2)
\end{align}

以上から、 $h(z)$ は $z=0$ において極を持たない。

$h(z)$ は定義から、二重周期性を持つ。かつ $h(z)$ はどの格子の点にも極を持たない。

（ここから先？）

命題 1.21.

$L=\mathbb{Z} \omega_{1}+\mathbb{Z} \omega_{2}$ ならば、以下が成り立つ*4。

\begin{align}
\wp^{\prime}(z)^{2}=4 \cdot\left(\wp(z)-e_{1}\right) \cdot\left(\wp(z)-e_{2}\right) \cdot\left(\wp(z)-e_{3}\right)
\end{align}

ただし、相異なる（pairwise distinct）定数 $e_1,e_2,e_3$ は以下のように定める。

\begin{align}
e_{1}:=\wp\left(\frac{\omega_{1}}{2}\right) ; \quad e_{2}:=\wp\left(\frac{\omega_{2}}{2}\right) ; \quad e_{3}:=\wp\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right)
\end{align}

証明

命題1.16から、 $\wp^{\prime}\left(\frac{\omega_{1}}{2}\right)=0$ がわかる。 $f(z):=\wp(z)-e_{1}$ を定めれば、 $f\left(\frac{\omega_{1}}{2}\right)=0$ かつ $f'\left(\frac{\omega_{1}}{2}\right)=0$ を得る。したがって、 $f$ は $\frac{\omega_{1}}{2}$ に重解をもつ。

そしてLiouvilleの定理3（命題1.8）から、 $\wp(z)-e_{1}$ は他に零点を持たない。

したがって、 $e_{1 ; 2 ; 3}$ は相異なる定数（pairwise distinct）である（日本語訳合っているか不明？）。

命題1.20と命題1.16から、 $P(X):=4 X^{3}-g_{2} X-g_{3}$ は相異なる3つの零点 $e_1,e_2,e_3$ を持つ。したがって $P(X)=4\left(X-e_{1}\right)\left(X-e_{2}\right)\left(X-e_{3}\right)$ のように因数分解される。