ラマヌジャンの円周率公式を証明する #4

第四回。今回から第二章ですが、原論文では2ページしかないところなのでササッとやります。

mikan-alpha.hatenablog.com

注意：これまで $\omega$ のことを（基本）単位と書いてましたが、どうやら周期のほうが良さそうなので変更します。

2. 準周期（quasiperiods）と積分による表示

この章では、Weierstraßの $\zeta$ -関数を用いて格子の準周期を定義する。

また、楕円積分を用いて周期と準周期の別の表示を与える。

これに、命題1.20の $\wp$ の微分方程式を用いる。

命題 2.1.

Weierstraßの $\zeta$ -関数は二重周期を持たないが、次の準周期と呼ばれる値は、 $z$ によらない（ $z \notin L$ であるならば）。

$\begin{align} \eta(\omega; L) := \zeta(z + \omega; L) - \zeta(z; L) \end{align}$

証明

右辺を $R(z) := \zeta(z + \omega; L) - \zeta(z; L)$ と置き、これを $z$ で微分すると、定義1.12より $R'(z) = - \wp(z + \omega; L) - (- \wp(z; L))$ を得る。

命題1.15よりこれは0となるから、したがって $R(z)$ は $z$ に関して定数である。

この定数の値は格子 $L$ と $\omega$ の選び方のみに依っている。

それゆえに、これを $\eta(\omega; L)$ と書けるのである。

定義 2.2.

次の値 $\eta_1(L)$ と $\eta_2(L)$ は、格子 $L = \mathbb{Z} \omega_1 + \mathbb{Z} \omega_2$ の基本準周期（basic quasiperiods）と呼ばれる。

$\begin{align} \eta_k(L) := \zeta(z + \omega_k; L) - \zeta(z; L) \end{align}$

注意 2.3.

省略

命題 2.4.

格子 $L = \mathbb{Z} \omega_1 + \mathbb{Z} \omega_2$ の基本周期と基本準周期に対して、以下が成り立つ。

$\begin{align} \eta_1 \omega_2 - \eta_2 \omega_1 = 2 \pi i \end{align}$

証明

（留数定理より。よく分かってないので省略）

定義 2.5.

$g_2, g_3$ を複素数とする。このとき、

\begin{align}
X(g_2, g_3) := \left\{ (x, y) \in \mathbb{C}^2 \, | \, y^2 = 4 x^3 - g_2 x - g_3 \right\}
\end{align}

は、平面アフィン代数曲線の一つである。

命題 2.6.

写像 $\Phi$ を以下のように定義する。

\begin{align}
\Phi : \mathbb{C} - L \quad &\longrightarrow \quad X(g_2(L), g_3(L)) \subset \mathbb{C}^2 \\
z \quad &\longmapsto \quad (\wp(z; L), \wp^{\prime}(z; L))
\end{align}

これは well-defined であり微分可能かつ二重周期性を持つ。

証明

（省略）

定義 2.7.

$L = \mathbb{Z} \omega_1 + \mathbb{Z} \omega_2$ を基本周期を $\omega_1, \omega_2$ とする格子とする。ここで経路 $\beta_1, \beta_2$ を以下のように定義する。

\begin{align}
\beta_1(t) := \frac{1}{4} \cdot \omega_2 + t \cdot \omega_1 \qquad \text{for} \quad 0 \leq t \leq 1 \\
\beta_2(t) := \frac{1}{4} \cdot \omega_1 + t \cdot \omega_2 \qquad \text{for} \quad 0 \leq t \leq 1
\end{align}

注意 2.8.

経路上には $\wp$ と $\wp^{\prime}$ の極、および $\wp^{\prime}$ の零点は存在しない。

命題 2.9.

$L = \mathbb{Z} \omega_1 + \mathbb{Z} \omega_2$ とおく。そして経路 $\beta_k$ を用いて2つの新たな経路 $\alpha_k := (\wp(\beta_k), \wp^{\prime}(\beta_k))$ を定義する。

これらは平面アフィン代数曲線 $X(g_2(L), g_3(L))$ 上の閉じた経路である。

ここで、格子の基本周期と基本準周期は、次の楕円積分による表示を満たす。

$\begin{align} \omega_k = \oint_{\alpha_k} \frac{dx}{y} \qquad \text{and} \qquad \eta_k(L) = - \oint_{\alpha_k} \frac{x \, dx}{y} \end{align}$

証明

経路 $\alpha_k$ が $X(g_2(L), g_3(L))$ 上の経路であることは、命題1.20の微分方程式から保証される。 $\beta_k(1) = \beta_k(0) + \omega_k$ より、 $\wp(\beta_k(0)) = \wp(\beta_k(1))$ であり、 $\wp^{\prime}$ に対しても同様である。したがって、 $\alpha_k(0) = \alpha_k(1)$ が成り立ち経路 $\alpha_k$ は閉じている。

$\frac{dx}{dz} = \wp^{\prime}(z)$ となるから、したがって

\begin{align}
\oint_{\alpha_k} \frac{dx}{y} = \oint_{\beta_k} \frac{\wp^{\prime}(z) dz}{\wp^{\prime}(z)} = \oint_{\beta_k} dz = \beta_k(1) - \beta_k(0) = \omega_k
\end{align}

また、

$\begin{align} - \oint_{\alpha_k} \frac{x \, dx}{y} = - \oint_{\beta_k} \frac{\wp(z) \wp^{\prime}(z) dz}{\wp^{\prime}(z)} = \oint_{\beta_k} - \wp(z) dz = \oint_{\beta_k} \zeta'(z) = \zeta(z + \omega_k; L) - \zeta(z; L) = \eta_k(L) \end{align}$

次回予告

第二章はこれで終わりで、次回から第三章です。

感覚としては、結構進んできた感じしますね。

次回から、円周率公式のパーツっぽいものが現れてきます。

頑張って証明追いたい。

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日々の数学やプログラミングに関係する話。