調和級数が、収束する？ - Holograph1c Attract0r

調和級数は、収束しないよ。（釣りタイトルじゃん）

なんてこった……。

じゃあ、こういう級数を考えてみましょう。

とりあえず、調和級数 *1と同じ級数を用意します。

\begin{align}
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \cdots
\end{align}

ここから、分母の整数を10進法で表記したときに、いずれかの桁に"9"を含むものを除きます。

つまり、 $\frac{1}{9},\frac{1}{19},\frac{1}{29},\ldots,\frac{1}{90},\frac{1}{91},\ldots$ などを除いて和をとります。

この無限和はどういった値になるでしょうか？

そもそも、収束性は？

自分で考えたいという方は、ここで少し立ち止まってみてください。

実はこの級数、収束します。
具体的な値は、おおよそ23程度になります。

直感的には、大きい桁数の整数ほどその中に"9"を含んでいる可能性が高いですから、その分和が小さくなっているというわけです。

また、これは"9"ではない他の数字（あるいは任意の桁数の整数）を除いても、同様に収束します！

この級数には、Kempner級数という名前がついています。Kempnerというのは、この級数について初めて研究をした数学者の名前です。

下に"9"を除く場合の数学的な証明を載せておきます。（Wikipediaより）

証明

分母の桁数ごとに和を分割する。

$n$ 桁の正整数であって、"9"を含まないものは、 $8 \times 9^{n-1}$ 個存在する。
（先頭の桁のみ"0"を選ぶことができない）

任意の $n$ 桁の正整数 $m$ に対して、 $m \geq 10^{n-1}$ が明らかに成り立つ。よって、両辺の逆数をとることで $\frac{1}{m} \leq \frac{1}{10^{n-1}}$ を得る。

ここで、全ての $m$ についての和をとれば、分母が $n$ 桁の正整数であって"9"を含まないものについての和は、 $8 \times 9^{n-1} \times \frac{1}{10^{n-1}} = 8 \times ( \frac{9}{10} )^{n-1}$ で上から抑えられる。

したがって、Kempner級数の和は高々 $8 \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{9}{10} )^{n-1} = 80$ である。

*1:すべての正整数の逆数和