リーマン予想について少し考察してみたい（予想解説編）

リーマン予想に関して少し話をしてみたくなったのですが、初めて取り扱うということでせっかくですし基本的なことからメモをしていきたいと思います。

そもそもリーマン予想って？

リーマン予想という名前だけは聞いたことがある、っていう方も多いかと思います。

リーマン予想とは、以下のように定義されるリーマンゼータ関数についての予想です。

\begin{align}
\zeta ( s ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { s } } = 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { s } } + \frac { 1 } { 3 ^ { s } } + \frac { 1 } { 4 ^ { s } } + \cdots
\end{align}

上のように、全ての自然数を $s$ 乗したものの逆数を足していくことを考えます。ここで $s$ は複素数の変数で、 $s$ の実部が1より大きいときこの無限和が有限の値に収束することが知られています。（ $s$ を実数と制限したときの証明程度なら高校生でもできるくらいのものです）

この時点では、例えば $s=1/4$ としたりすることはできず意味のある値を持つ範囲、つまりこの関数の定義域は複素数平面において $s=1$ の右側（ただし境界は含まない）となります。

このリーマンゼータ関数は、整数について考える分野によく登場します。そして特に素数との結びつきが強く、そのため大きな研究対象となっています。

この関数が素数と強く関係している所以として、以下のような表示を持つことがあります。この式の右辺はオイラー積と呼ばれます。

\begin{align}
\zeta (s) = \prod_{p} \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } = \left(\frac { 1 } { 1 - 2 ^ { - s } }\right) \left(\frac { 1 } { 1 - 3 ^ { - s } }\right) \left(\frac { 1 } { 1 - 5 ^ { - s } }\right) \cdots
\end{align}

$p$ は全ての素数を渡り、右辺の積は計算するとちゃんと定義式の自然数の逆数和になります。（右辺は全ての自然数の素因数分解を網羅しているからです）

ちなみに余談もいいところですが、このオイラー積とかをガチャガチャ弄ってやると全ての素数の積が $4 \pi ^2$ となることが分かります。

さて、今リーマンゼータ関数は素数との関係が強いということを話しました。元の定義式とオイラー積表示の2つを行き来することで、自然数の問題を素数へ、素数の問題を自然数へ移すことができるのです。まさに、自然数と素数を司る関数と言えましょう。そして、これから話すリーマン予想はこの素数、特に素数の分布についての予想なのです。