ラマヌジャンの円周率公式を理解したい第三回 - 公式の一般形

ラマヌジャンの円周率公式、第三回です。

mikan-alpha.hatenablog.com

さて、前回は色々な道具を導入して限られた場合の円周率公式の生成法を紹介しましたが、今回はもう少し一般化した話をしていきたいと思います。

証明のようなものは、また別の機会に書けたらと思います。

超幾何関数と円周率公式
いくつか例など
- Type 1. 虚数単位が残るパターン
- Type 2. 実数のままのパターン

超幾何関数と円周率公式

ラマヌジャンの円周率公式の一般形は、以下のように書けそうです。

\begin{align}
\frac{\sqrt{C}}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} h_p(n) \frac{A n + B}{C ^n} \tag{1}
\end{align}

あるいは、右辺の $C$ の指数部を $n+1/2$ としてまとめてしまえば左辺は $1 / \pi$ になってすっきりします。

またここで、 $h_p(n) \, (p=1,2,3,4)$ は有理式で、以下のように定義されます。

\begin{align}
h_1(n) &= \frac{(6 n) !}{(3 n) ! n !^{3}} \\
h_2(n) &= \frac{(4 n) !}{n !^{4}} \\
h_3(n) &= \frac{(2 n) !(3 n) !}{n !^{5}} \\
h_4(n) &= \frac{(2 n) !^{3}}{n !^{6}}
\end{align}

前回は、ここで $p=1$ とした場合の話でした（当てはめた式の形が若干異なりましたが）。今回、 $p=1$ の場合も改めて超幾何関数を使った方法で書きます。

以下、 $i$ は虚数単位、 $j(\tau)$ はj-invariant、 $\eta(\tau)$ はDedekindのイータ関数、 $_2 F_1 (a,b;c;z)$ はガウスの超幾何関数です。

p=1 の場合

このとき、(1)はこうなります。当てはめただけです。

\begin{align}
\frac{\sqrt{C}}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(6 n) !}{(3 n) ! n !^{3}} \frac{A n + B}{C ^n}
\end{align}

各定数の計算方法は以下の通り。

\begin{align}
A &= \sqrt{C}(1-2 \alpha) \left( \frac{1}{p} \right) \sqrt{d} \\
B &= \frac{\sqrt{C}}{\pi}\left[_2 F_{1}\left(\frac{1}{6}, \frac{5}{6} ; 1 ; \alpha\right)\right]^{-2} - \frac{1728}{\sqrt{C}} \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{p}\right) \sqrt{d} \frac{_2 F_{1}\left(\frac{7}{6}, \frac{11}{6} ; 2 ; \alpha\right)}{_2 F_{1}\left(\frac{1}{6}, \frac{5}{6} ; 1 ; \alpha\right)}
\end{align}

$\begin{align} C = j(\tau) \\ \alpha = \frac{1 - \sqrt{1 - \frac{1728}{j(\tau)}}}{2} \end{align}$

ここで、 $d$ は前回と同様に $\tau \in \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ となるような定数です。計算の例も同じく後ろの方にまとめて載せます。

p=2 の場合

\begin{align}
\frac{\sqrt{C}}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n) !}{n !^{4}} \frac{A n + B}{C ^n}
\end{align}

ここで、各定数は以下のように決定される。

\begin{align}
A &= \sqrt{C}(1-2 \beta)\left(\frac{1}{p}\right) \sqrt{d} \\
B &= \frac{\sqrt{C}}{\pi}\left[_2 F_{1}\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4} ; 1 ; \beta \right)\right]^{-2} - \frac{256}{\sqrt{C}} \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{3}{4}\right) \left(\frac{1}{p}\right) \sqrt{d} \frac{_2 F_{1}\left(\frac{5}{4}, \frac{7}{4} ; 2 ; \beta \right)}{_2 F_{1}\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4} ; 1 ; \beta \right)}
\end{align}

$\begin{align} C = j_{2A}(\tau) \\ \beta = \frac{1-\sqrt{1-\frac{256}{j_{2A}(\tau)}}}{2} \end{align}$

また、 $j_{2A}(\tau)$ は以下のように定義されるとします。

$\begin{align} j_{2A}(\tau) = \left( \left( \frac{\eta(\tau)}{\eta(2 \tau)}\right)^{12} + 2^6 \left( \frac{\eta(2 \tau)}{\eta(\tau)} \right)^{12} \right)^{2} \end{align}$

$d$ については上と同様です。

p=3 の場合

\begin{align}
\frac{\sqrt{C}}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !(3 n) !}{n !^{5}} \frac{A n + B}{C ^n}
\end{align}

\begin{align}
A &= \sqrt{C}(1-2 \gamma)\left(\frac{1}{p}\right) \sqrt{d} \\
B &= \frac{\sqrt{C}}{\pi}\left[_2 F_{1}\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} ; 1 ; \gamma \right)\right]^{-2} - \frac{108}{\sqrt{C}} \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{p}\right) \sqrt{d} \frac{_2 F_{1}\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3} ; 2 ; \gamma \right)}{_2 F_{1}\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} ; 1 ; \gamma \right)}
\end{align}

$\begin{align} C = j_{3A}(\tau) \\ \gamma = \frac{1-\sqrt{1 - \frac{108}{j_{3A}(\tau)}}}{2} \end{align}$

また、 $j_{3A}(\tau)$ は以下のように定義されるとします。

$\begin{align} j_{3 A}(\tau) = \left(\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(3 \tau)}\right)^{6}+3^{3}\left(\frac{\eta(3 \tau)}{\eta(\tau)}\right)^{6}\right)^{2} \end{align}$

$d$ については同上。

p=4 の場合

\begin{align}
\frac{\sqrt{C}}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !^{3}}{n !^{6}} \frac{A n + B}{C ^n}
\end{align}

\begin{align}
A &= \sqrt{C}(1-2 \delta)\left(\frac{1}{p}\right) \sqrt{d} \\
B &= \frac{\sqrt{C}}{\pi}\left[_2 F_{1}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ; 1 ; \delta \right)\right]^{-2} - \frac{64}{\sqrt{C}} \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{p}\right) \sqrt{d} \frac{_2 F_{1}\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2} ; 2 ; \delta \right)}{_2 F_{1}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ; 1 ; \delta \right)}
\end{align}

$\begin{align} C = j_{4A}(\tau) \\ \delta = \frac{1-\sqrt{1-\frac{64}{j_{4A}(\tau)}}}{2}\end{align}$

また、 $j_{4A}(\tau)$ は以下のように定義されるとします。

$\begin{align} j_{4 A}(\tau) = \left(\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(4 \tau)}\right)^{4}+4^{2}\left(\frac{\eta(4 \tau)}{\eta(\tau)}\right)^{4}\right)^{2} \end{align}$

$d$ については同上。

いくつか例など

見た目の上で、2パターンに分けておきます。

Type 1. 虚数単位が残るパターン

例えば $p=1$ の場合で $\tau = (1 + \sqrt{-7})/2$ とします。前回のアイゼンシュタイン級数を用いた導出のときと同じものです。最終的に同じ形になることも説明できるのでこの例でやります。

このとき、 $C = j(\tau)$ なので $C = j(\frac{1 + \sqrt{-7}}{2}) = -3375 = -15^3$ となります。
また $\alpha$ を計算すると次のようになります。

\begin{align}
\alpha = \frac{1}{2} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{1728}{-3375}}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{3 \sqrt{\frac{21}{5}}}{5} \right)
\end{align}

これを使って $A,B$ を計算すると $A=189i,B=24i$ となるので、以下のようになります。

\begin{align}
\frac{\sqrt{-15^3}}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(6 n) !}{(3 n) ! n !^{3}} \frac{189i n + 24i}{\left( -15^3 \right) ^n}
\end{align}

「虚数が残る？」となるかもしれませんが、ちゃんと左辺と右辺で打ち消し合ってくれるので、最終的にこうなって実数の話になります。

\begin{align}
\frac{1}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(6 n) !}{(3 n) ! n !^{3}} (-1)^n \frac{189 n + 24}{\left( 15^3 \right) ^{n+1/2}}
\end{align}

これでめでたく、一つ円周率の公式を作ることができました。 $A,B$ が互いに素ではないときには、さらに共通因数をくくってシグマの前に出してやることで見た目をスッキリさせてやることができます。

Type 2. 実数のままのパターン

次に $p=2$ のときの例を出してみます。 $\tau = (\sqrt{-232})/4$ とすると、 $d=232$ です。

このときは、 $C = j_{2A}(\tau)$ なので、計算すると、 $C = j_{2A}(\frac{\sqrt{-232}}{4}) = 24591257856 = 396^4$ です。

このとき、 $A=844480 \sqrt{2},B=35296 \sqrt{2}$ となります。この場合、互いに素ではなく $2^5$ でくくれます。

したがって、書き下すとこうです。

\begin{align}
\frac{1}{\pi} = 32 \sqrt{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n) !}{n !^{4}} \frac{26390 n + 1103}{\left( 396^4 \right) ^{n+1/2}}
\end{align}

（どこかで見覚えが……？）

あるいは、1/2乗の分をシグマの前に出してやることで、こうですね。

\begin{align}
\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{99 ^ 2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n) !}{n !^{4}} \frac{26390 n + 1103}{\left( 396^4 \right) ^{n}}
\end{align}

あとは、上手く $\tau$ を選んでやることで黄金比が出てくる円周率公式が作れたりします。（今回はもう疲れたので今度にしましょう）
次回はもう少し拡張して $1 / \pi$ だけでなく $1 / \pi ^m$ （mは自然数）という形の公式の紹介もしたいです。