「今週の積分#3」の別解答
タイトル通り、今日の記事はヨビノリさんの「今週の積分」です。
サムネイルにもありますが、こちらが問題となっている定積分。
\begin{align}
\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \tag{1}
\end{align}
動画の中で、たくみさんは平方根を丸ごと別の文字で置き置換積分を行っていますが、ここでは別の方法を取りたいと思います。
まず最初に、平方根の中身に注目します。
この形、どこかで見覚えありませんか？
そう、これはの半角の公式そのものです。
\begin{align}
\tan^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}
\end{align}
そこで、上の積分でと置換してみます。
も置換しないといけませんので、計算します。
\begin{align}
\frac{dx}{d\theta} = -2\sin2\theta
\end{align}
したがって、(1)の式は以下のように書き換えることができます。
積分区間に注意です。
\begin{align}
\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}} \times (-2\sin2\theta) d\theta &= \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \sqrt{\tan^2\theta} \times (-2\sin2\theta) d\theta \\
&= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\tan^2\theta} \times \sin2\theta d\theta \tag{2}
\end{align}
ここでの倍角の公式を使います。
\begin{align}
\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta
\end{align}
これを逆に用いて(2)を書き換えると、
\begin{align}
4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\tan^2\theta} \times \sin\theta\cos\theta d\theta \tag{3}
\end{align}
こうなりますね。また、積分区間内では常に
を満たすので、平方根をそのまま外すことができて、
\begin{align}
4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan\theta \times \sin\theta\cos\theta d\theta = 4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta d\theta \tag{4}
\end{align}
となります。やけに簡単な式になりました。
次にまたしても半角の公式が登場です。今度はではなく
のです。
\begin{align}
\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}
\end{align}
(4)に代入。
\begin{align}
4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-\cos2\theta) d\theta
\end{align}
あとは(5)を積分するだけ。
\begin{align}
2\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-\cos2\theta) d\theta &= 2\left[ \theta - \frac{1}{2}\sin2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&= 2(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) \\
&= \frac{\pi}{2} - 1 \tag{6}
\end{align}
これでフィニッシュ！！ちゃんと答えも同じになりました。
こういう積分をやっていると、つくづく三角関数って大事だなあと感じます。なんでもないような式から三角関数を見出す、これがなかなか難しい。ただ、できたときにはその分の達成感があります。
途中のや
という形の関数の微積分には合成関数の微分を用いました。今朝証明も載せたのでぜひ参考に。
では今日はこの辺で。
12/18追記:
若干書き換えました。
