三角関数と無限遠点

次回はラマヌジャンとか言ってたんですが、急遽書きたいものができたので書いておきます。

\begin{align}
\lim_{x \to \infty} \, x^2 (1 - \cos^3 \frac{1}{x}) \tag{1}
\end{align}

こんな極限を考えます。三角関数絡みなので、これが出てくるかなと頭の片隅で思いつつ解いてみましょう。

\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{2}
\end{align}

解答

(1)を次のように変形する。

\begin{align}
\lim_{x \to \infty} \, x^2 (1 - \cos^3 (x^{-1})) = \lim_{x \to \infty} \, \frac{1 - \cos^3 (x^{-1})}{x^{-2}}
\end{align}

ロピタルの定理より、以下が導かれる。

\begin{align}
\lim_{x \to \infty} \, \frac{1 - \cos^3 (x^{-1})}{x^{-2}} &= \lim_{x \to \infty} \, \frac{\frac{d}{dx} (1 - \cos^3 (x^{-1}))}{\frac{d}{dx}(x^{-2})} \\
&= \lim_{x \to \infty} \, \frac{-3 x^{-2} \sin (x^{-1}) \cos^2 (x^{-1})}{-2 x^{-3}} \\
&= \frac{3}{2} \lim_{x \to \infty} \, \frac{\sin (x^{-1}) \cos^2 (x^{-1})}{x^{-1}}
\end{align}

ここで、のときであるから(2)より

\begin{align}
\frac{3}{2} \lim_{x \to \infty} \, \frac{\sin (x^{-1}) \cos^2 (x^{-1})}{x^{-1}} &= \frac{3}{2} \lim_{x \to \infty} \, \cos^2 (x^{-1}) \\
&= \frac{3}{2}
\end{align}