とある定積分と、ガンマ関数とゼータ関数

ちょっとしたことがきっかけで、以下の定積分を計算する必要がありました。

\begin{align}
\int _ {0} ^ {\infty} \frac { x } { e ^ { x } - 1 } \, dx \tag{1}
\end{align}

見た感じ、特に変わったところはないように見えます。
ですが、この積分には2つの道具が必要になります。

そう、それがガンマ関数とゼータ関数です。

\begin{align}
\zeta ( s ) &= \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { s } } \tag{2} \\
\Gamma ( z ) &= \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { z - 1 } e ^ { - t } \, dt \quad ( \mathfrak { R } z > 0 ) \tag{3}
\end{align}

ここまでただ読んでいても「？」だと思いますので、実際に計算してみます。

ガンマ関数を変形する

上の(3)の定義式において、 $t=nu \quad (n=1, \, 2, \, 3, \, \ldots)$ と置換すると、 $\frac{dt}{du}=n$ より以下の式を得ます。

\begin{align}
\Gamma ( z ) &= \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { z - 1 } e ^ { - t } \, dt \\
&= \int _ { 0 } ^ { \infty } (nu) ^ { z - 1 } e ^ { - nu } n \, du \\
&= \int _ { 0 } ^ { \infty } n ^ { z - 1 } u ^ { z - 1 } e ^ { - nu } n \, du \\
&= \int _ { 0 } ^ { \infty } n^{z} u^{z - 1} e ^ { - nu } \, du \\
&= n^z \int_ { 0 } ^ { \infty } u^{z-1} e^{-nu} \, du \tag{4}
\end{align}

(4)より、任意の自然数 $n$ を用いて(3)は以下のように書き換えられます。

\begin{align}
\Gamma (z) \times \frac{1}{n^z} = \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } e ^ { - nu } \, du \tag{5}
\end{align}

確かに、 $n=1$ とすればそれは定義式そのものです。置換が $t=u$ となりますから自明ですね。

自然数とガンマ関数

(5)の式の $n$ はあらゆる自然数をとることができます。
したがって、以下のような総和を考えます。

\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} ( \Gamma (z) \times \frac{1}{n^z} ) = \sum_{n=1}^{\infty} \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } e ^ { - nu } \, du \tag{6}
\end{align}

ここで、(6)は以下のように変形できます。
\begin{align}
\Gamma (z) \times \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z} &= \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } \sum_{n=1}^{\infty} (e ^ { - u }) ^ n \, du \\
\Gamma (z) \times \zeta (z) &= \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } \sum_{n=1}^{\infty} (e ^ { - u }) ^ n \, du \tag{7}
\end{align}

なんと、左辺にゼータ関数が出てきました！
さらに右辺の $\sum_{n=1}^{\infty} (e ^ { - u }) ^ n$ は等比数列なので、閉じた式で表すことができます。

\begin{align}
\Gamma (z) \times \zeta (z) &= \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } \sum_{n=1}^{\infty} (e ^ { - u }) ^ n \, du \\
&= \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } \frac{e ^ {-u}}{1 - e ^ {-u}} \, du \tag{8}
\end{align}

もうゴールはすぐそこです。 $\frac{e ^ {-u}}{1 - e ^ {-u}}$ の分子と分母に $e ^ u$ をかけることにより、

\begin{align}
\int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } \frac{e ^ {-u}}{1 - e ^ {-u}} \, du &= \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { z - 1 } \frac{1}{e ^ u - 1} \, du \\
&= \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac{u ^ { z - 1 }}{e ^ u - 1} \, du \tag{9}
\end{align}

(8)と(9)より、

\begin{align}
\Gamma (z) \times \zeta (z) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac{u ^ { z - 1 }}{e ^ u - 1} \, du \tag{10}
\end{align}

これで、ようやく(1)の定積分が計算できます！！
求めたい定積分は $z=2$ としたときなので、

\begin{align}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac{u ^ { 2 - 1 }}{e ^ u - 1} \, du &= \Gamma (2) \times \zeta (2) \\
&= \frac{\pi ^ 2}{6}
\end{align}

となります。

一見、円どころか自然数や階乗にさえ関係の無さそうな式から $\zeta (2)$ が出てくるのがとても奇妙ですね……。

他の特殊値も計算してみる

(10)の右辺を $I(s)$ とでも置いてみます。（ $s=z-1$ とする）

\begin{align}
I (s) &= \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac{u ^ s}{e ^ u - 1} \, du \\
&= \Gamma (s + 1) \times \zeta (s + 1) \\
&= s! \times \zeta (s + 1)
\end{align}

$s$ の実部が正であれば計算ができます。

\begin{align}
I (1) &= \frac{\pi ^ 2}{6} \\
I (3) &= \frac{\pi ^ 4}{15} \\
I (5) &= \frac{8 \pi ^ 6}{63} \\
I (11) &= \frac{11! \times 691}{638512875} \pi ^ {12}
\end{align}