Ramanujan summationと-(1/12)
以下の等式は、数学をやっている人たちからしたらそこそこ有名な等式です。
\begin{align}
1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12} \tag{1}
\end{align}
ただ、こう書いていいものかと悩みます。なぜかって、左辺の無限和は普通の意味では発散してしまいますから。
多分、普通ならリーマンゼータ関数を用いてこんな感じにやるんでしょう。
\begin{align}
\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \tag{2}
\end{align}
上の全ての自然数の和というのは、(2)の定義式で形式的にとしたときのものです。
そして、以外の複素数平面全体へ解析接続されたあとのゼータ関数であれば、確かにこうなります。
\begin{align}
\zeta (-1) = -\frac{1}{12}
\end{align}
ですがよく考えてみてください。そもそも、(2)の定義式はが1より大きいときにしか収束せず、意味をもちません。
そして、解析接続されたあとのゼータ関数はもはや上の式で表すことはできないんです。
今回の記事は、異なった手法を用いて全ての自然数の和がとなることを証明しますが、ゼータ関数を用いるのと同じように普通の意味での収束値というわけではないことをご了承ください。何度も言いますが、(1)の左辺は発散してしまうのです。
Ramanujan summation
今回使う道具がこちら、Ramanujan summationです。
\begin{align}
\frac{f(0)}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} f(n) = i \int_0^{\infty} \frac{f(it) - f(-it)}{e ^ {2 \pi t} - 1} \, dt \quad (\mathfrak{R}) \tag{3}
\end{align}
Ramanujan summation - Wikipedia
（以降、は虚数単位とします）
後ろにと書いたのは、何度も言うように通常の意味での等式ではないからです。
このラマヌジャンの総和法（Ramanujan summation）は、通常発散してしまうような級数に値を与える道具です。相変わらず、よく分からない見た目をしています。
左辺は離散的な値、右辺は連続的な値（積分）でしかも複素数が出てくる……謎が深いですね。
今回は別にこの等式自体に焦点を当てようというわけではないので、そこらへんはスキップしてしまいますが余力があればいつか紹介するかも……？
とにかく、今回は道具として使うにとどめます。
では、上の式でとしてみましょう。そうすると、以下の式を得ます。
\begin{align}
\frac{0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} n = i \int_0^{\infty} \frac{it - (-it)}{e ^ {2 \pi t} - 1} \, dt \quad (\mathfrak{R}) \tag{4}
\end{align}
(4)をもう少し変形すると、こう。
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} n = i \int_0^{\infty} \frac{2it}{e ^ {2 \pi t} - 1} \, dt \quad (\mathfrak{R}) \tag{5}
\end{align}
左辺が今求めたい全ての自然数の和になりました。
(5)の右辺をどんどん計算していきましょう。
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} n &= i \int_0^{\infty} \frac{2it}{e ^ {2 \pi t} - 1} \, dt \quad (\mathfrak{R}) \\
&= -2 \int_0^{\infty} \frac{t}{e ^ {2 \pi t} - 1} \, dt \tag{6}
\end{align}
ここで、と置換します。
です。
\begin{align}
-2 \int_0^{\infty} \frac{t}{e ^ {2 \pi t} - 1} \, dt &= -2 \int_0^{\infty} \frac{u}{2 \pi} \times \frac{1}{e ^ {u} - 1} \times \frac{du}{2 \pi} \\
&= -\frac{1}{2 \pi ^ 2} \int_0^{\infty} \frac{u}{e ^ {u} - 1} \, du \tag{7}
\end{align}
あれ、(7)の積分どこかで見たような……。
そうです。これが昨日やったやつです。
実はこれは今回の記事のために書きました。
ということで、(7)はこう計算できます。
\begin{align}
-\frac{1}{2 \pi ^ 2} \int_0^{\infty} \frac{u}{e ^ {u} - 1} \, du &= -\frac{1}{2 \pi ^ 2} \times \frac{\pi ^2}{6} \\
&= -\frac{1}{12} \tag{8}
\end{align}
一番はじめの式と合わせて、こう！
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12} \quad (\mathfrak{R})
\end{align}
なんと、ちゃんとラマヌジャンの総和法で計算してもになるんですね！
これで、Q.E.D.……ですかね？とりあえず、(1)が成り立つお気持ちは理解できました。
他の級数の値も求めてみよう
ラマヌジャンの総和法を使って、以下のようになることも証明することができます。
ゼータ関数の零点が負の偶数、ってやつです。形式的に、ですけどね。
\begin{align}
1 ^ {2k} + 2 ^ {2k} + 3 ^ {2k} + 4 ^ {2k} + \cdots = 0 \quad (k=1, \, 2, \, 3, \, \ldots) \quad (\mathfrak{R}) \tag{9}
\end{align}
(3)で、とおきます。
\begin{align}
\frac{0 ^ {2k}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} n ^ {2k} = i \int_0^{\infty} \frac{(it) ^ {2k} - (-it) ^ {2k}}{e ^ {2 \pi t} - 1} \, dt \quad (\mathfrak{R}) \tag{10}
\end{align}
ここで、右辺の被積分関数の分子に注目です。
\begin{align}
(it) ^ {2k} - (-it) ^ {2k} \tag{11}
\end{align}
(11)を変形します。
\begin{align}
(it) ^ {2k} - (-it) ^ {2k} &= (it) ^ {2k} \times (1 - (-1) ^ {2k}) \\
&= (it) ^ {2k} \times 0
\end{align}
というような感じです。
どうやら、これ以外にも色々な級数の計算ができるそうなので、ぜひやってみてください。
では、お疲れ様でした。
