先日、Twitterのタイムラインに面白いものが流れてきました。 とある無限和 以下のような1が並ぶ数を足していったら、というだけの話だったのですが、答えの方がなにやら面白いぞ、と。 \begin{align}1 + \frac{1}{11} + \frac{1}{111} + \frac{1}{1111} + \…

数列 を以下のような漸化式で定義します。 \begin{align}F_0 &= 0 \\F_1 &= 1 \\F_{n+2} &= F_{n+1} + F_n\end{align} このとき、数列 のことをフィボナッチ数列と呼ぶのでした*1。 今日は、このフィボナッチ数列について書きたいと思います。 数列の母関数…

この記事は、この記事の続きになります。 mikan-alpha.hatenablog.com 前回までと同じく、自由研究ライクな記事になります。厳密な証明などを与えるわけではないので、ご了承ください。 もうちょっと準備編 Dedekindのイータ関数 階乗冪・ガウスの超幾何関数…

高校二年生の数学Bなどで勉強するベクトルですが、意外とこいつを上手く使ってやることで証明がスマートになったり、あるいはほぼ自明レベルまで落とし込めたりします。 そんなわけでいくつかベクトルを使うと簡単に示せる定理などの紹介です。数が少ないの…

この記事の続き、というか本編になります。 mikan-alpha.hatenablog.com リーマン予想と同値な不等式として、こんなものが知られています。 ここで は約数関数、 はn番目の調和数です。 \begin{align}H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{…

唐突なのですが、なんとなく昨日のリーマン予想とは別に書きたくなりました。 ということで、少しだけ書きます。 大抵のソシャゲにはガチャのシステムがあります。言わずもがな、ガチャというのは確率でレアアイテムやレアなキャラが手に入ったりするやつで…

リーマン予想に関して少し話をしてみたくなったのですが、初めて取り扱うということでせっかくですし基本的なことからメモをしていきたいと思います。 そもそもリーマン予想って？ リーマン予想 - Wikipedia リーマン予想という名前だけは聞いたことがある、…

モジュラー形式をバックにする円周率の公式たち。私用メモです。n: 非負整数 \begin{align}h_1 (n) &= \frac{(6n)!}{(3n)! n!^3} \\h_2 (n) &= \frac{(4n)!}{n!^4} \\h_3 (n) &= \frac{(2n)! (3n)!}{n!^5} \\h_4 (n) &= \frac{(2n)! ^3}{n!^6} \\\end{align}…

定理. 座標平面上の原点、2点とが一直線上にないとき、この3点を頂点とする三角形の面積は以下の式で表される。 \begin{align}S = \frac{1}{2} | x_1 y_2 - x_2 y_1 |\end{align} 証明 を 、 を 、 を と置く。 \begin{align}S &= \frac{1}{2} \| \vec{a} \|…

追記： ちゃんと証明するシリーズを書き始めました。もっと詳しく知りたい方はぜひどうぞ。 mikan-alpha.hatenablog.com mikan-alpha.hatenablog.com 円周率に関して、こんな公式があります。 \begin{align}\frac { 1 } { \pi } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } {…

次回はラマヌジャンとか言ってたんですが、急遽書きたいものができたので書いておきます。 \begin{align}\lim_{x \to \infty} \, x^2 (1 - \cos^3 \frac{1}{x}) \tag{1}\end{align} こんな極限を考えます。三角関数絡みなので、これが出てくるかなと頭の片隅…

この記事は、以下の記事の続きになります。 mikan-alpha.hatenablog.com さて、前編ではThe Dottie Number（ドッティ数）という定数を紹介しました。（定義などは前回の記事を参照ください） 既に証明したとおり超越数であるこの数ですが、Wikipediaによれば…

前回の記事を書いた後、どうにかして数学的な証明を与えられないものかと探っていたときのことです。 mikan-alpha.hatenablog.com とりあえず、WolframAlphaに頼ってみることにしてみました。 Wolfram|Alpha: Computational Intelligence 検索ボックスに「」…

みなさん、突然ですがお手持ちの関数電卓を弧度法にしてを連打してみてください。 iPhoneの場合なら、左下の方にRadというボタンがあると思いますのでそこを押すと度数法から弧度法へと切り替わります。 ……どうでしたか？ こんな風になったのではないかと思…

数学をやっていると、よくこいつに出会います。 \begin{align}\mathrm{e} = \lim_{x \to 0} \, ( 1 + x ) ^ {\frac{1}{x}}\end{align} はじめて出会うのは、おそらく数Ⅲとかでしょうか。自然対数などといったものと一緒に現れるわけです。したがって、このe…

明けましておめでとうございます。今年もどうぞよろしくお願いいたします。 さて、元日なのでこんな感じの級数を考えてみたくなります。 \begin{align}1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \tag{1}\end{align} やっぱり、まずはこの級数を計算するところからでしょうか。…

以下の等式は、数学をやっている人たちからしたらそこそこ有名な等式です。 \begin{align}1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12} \tag{1}\end{align} ただ、こう書いていいものかと悩みます。なぜかって、左辺の無限和は普通の意味では発散してしまいます…

x=0→∞においての、x / (e^x - 1) の広義積分を、ガンマ関数とリーマンゼータ関数を用いて計算します。

クリスマスということで、それっぽい問題を一問。 以下の式を満たす最小の自然数と、そのときの自然数の値を求めよ。ただし、とする。 \begin{align}\frac{12}{24} > \frac{p}{q} > \frac{12}{25} \tag{1}\end{align} 解答 (1)の式にをかけることにより、次…

ある関数があって、その原始関数を求める。これが積分、という演算です。 \begin{align}\int f(x) dx = F(x) + C \\F'(x) = f(x)\end{align} （は積分定数とします。）ここで、ふと疑問に思いました。「原始関数は（定数項の違いを除いて）一意に定まるのだ…

タイトル通り、今日の記事はヨビノリさんの「今週の積分」です。 www.youtube.com 【高校数学】今週の積分#3【難易度★★★★】 サムネイルにもありますが、こちらが問題となっている定積分。 \begin{align}\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \t…

合成関数の微分の証明

はじめまして。あるふぁというものです。tsujimotterさんだとか、INTEGERSのせきゅーんさんといった方々に憧れて自分もブログを開設してみることにしました。ぜひとも、これからよろしくお願いいたします。 では早速ですが、本題です。記念すべき一番最初の…